Definicja 1:
Układem normalnym równań różniczkowych rzędu pierwszego nazywamy układ równań postaci
\( \begin{cases}x_1^\prime(t)=f_1(t,x_1(t),\ldots , x_n(t))&\\x_2^\prime(t)=f_2(t,x_1(t),\ldots ,x_n(t))&\\\hskip 0.3 pc\hskip 0.3 pc \vdots &\\x_n^\prime(t)=f_n(t,x_1(t),\ldots ,x_n(t))& \end{cases} \)
gdzie \( \hskip 0.3pc x_1,\ldots ,\hskip 0.3pc x_n\hskip 0.3pc \) są nieznanymi funkcjami zmiennej niezależnej \( \hskip 0.3pc t\in I,\hskip 0.3pc \) a \( \hskip 0.3pc f_1,\ldots,\hskip 0.3pc f_n\hskip 0.3pc \) są danymi funkcjami określonymi w \( \hskip 0.3pc I\times U,\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc I=(a,b),\hskip 0.3pc \), \( \hskip 0.3pc a\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc b\hskip 0.3pc \) mogą być nieskończonościami, \( \hskip 0.3pc U\subset \mathbb{R}^n.\hskip 0.3pc \)
Definicja 2:
Przez rozwiązanie układu równań rózniczkowych ( 1 ) rozumiemy funkcje różniczkowalne
\( \hskip 0.3pc x_1,\ldots ,\hskip 0.3pc x_n\hskip 0.3pc \) spełniające dla każdego \( \hskip 0.3pc t\in I\hskip 0.3pc \) układ równań ( 1 ).
Definicja 3:
Jeżeli \( \hskip 0.3pc x_1,\ldots ,\hskip 0.3pc x_n\hskip 0.3pc \) są rozwiązaniem układu
( 1 ) to trajektorią rozwiązania nazywamy zbiór punktów w przestrzeni \( \hskip 0.3pc \mathbb{R}^n\hskip 0.3pc \) określony następująco
\( \{(x_1(t),x_2(t),\ldots ,x_n(t)),\hskip 0.3 pc\hskip 0.3 pc t\in I \}. \)
Definicja 4:
Problem początkowy (Cauchy'ego) dla układu
( 1 ) polega na znalezieniu w przedziale \( \hskip 0.3pc I\hskip 0.3pc \) rozwiązania \( \hskip 0.3pc x_1(t),\hskip 0.3pc x_2(t),\ldots ,\hskip 0.3pcx_n(t) \) układu
( 1 ) spełniającego warunki początkowe
\( x_1(t_0)=x_{01},\hskip 0.3pc x_2(t_0)=x_{02},\ldots ,\hskip 0.3pcx_n(t_0)=x_{0n}, \)
gdzie \( \hskip 0.3pc x_{01},\ldots ,\hskip 0.3pc x_{0n}\hskip 0.3pc \) są dane, a \( \hskip 0.3pc t_0\hskip 0.3pc \) jest ustalonym punktem przedziału \( \hskip 0.3pc I\hskip 0.3pc \).
Jeżeli funkcje \( \hskip 0.3pc f_i(t,x_1,\ldots ,x_n),\hskip 0.3 pc{\rm dla}\hskip 0.3 pc i=1,\ldots ,n,\hskip 0.3pc \) są wraz z pochodnymi cząstkowymi \( \hskip 0.3pc \frac{\partial f_i}{\partial x_j},\hskip 0.3 pc(i,\hskip 0.2pcj=1,\ldots ,n) \) ciągłe w \( I\times U\subset \mathbb{R}^{n+1}\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc (t_0,x_{01},\ldots ,x_{0n})\in I\times U, \) to układ równań
( 1 ) z warunkami początkowymi \( \hskip 0.3pc (2)\hskip 0.3pc \) posiada dokładnie jedno rozwiązanie w pewnym otoczeniu punktu \( \hskip 0.3pc t_0\hskip 0.3pc \).
Dowód tego twierdzenia podany jest w
module "Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności dla równań różniczkowych zwyczajnych".
Przykład 1:
Pokazać, że układ równań
\( \begin{cases} x_1^\prime=tx_1+x_2^2 &\\x_2^\prime=x_1+\sin (x_2)+e^t &\end{cases} \)
z warunkiem początkowym \( \hskip 0.3pc x_1(0)=1,\hskip 0.3 pc\hskip 0.3pc x_2(0)=0\hskip 0.3pc \) posiada w pewnym otoczeniu punktu \( \hskip 0.3pc t_0=0\hskip 0.3pc \) dokładnie jedno rozwiązanie.
Istotnie, funkcje \( \hskip 0.3pc f_1(t,x_1,x_2)=tx_1+x_2^2,\hskip 0.3 pc\hskip 0.3 pc f_2(t,x_1,x_2)=x_1+\sin (x_2)+e^t\hskip 0.3pc \) są ciągłe w \( \hskip 0.3pc \mathbb{R}^3 \hskip 0.3pc \) ponadto ich pochodne
\( \frac{\partial f_1}{\partial x_1}=t,\hskip 0.3 pc\hskip 0.3 pc\frac{\partial f_1}{\partial x_2}=2x_2,\hskip 0.3 pc\hskip 0.3 pc\frac{\partial f_2}{\partial x_1}=1,\hskip 0.3 pc\hskip 0.3 pc\frac{\partial f_2}{\partial x_2}=\cos(x_2) \)
są również ciągłe w \( \mathbb{R}^3 \). Zatem, na mocy twierdzenia
o istnieniu i jednoznaczności, problem początkowy posiada dokładnie jedno rozwiązanie w pewnym otoczeniu punktu \( \hskip 0.3pc t_0=0\hskip 0.3pc \).
Uwaga 1:
Każde równanie rzędu \( \hskip 0.3pc n \)
\( x^{(n)}=F(t,x,x^\prime,\ldots,x^{(n-1)}) \)
można przekształcić do układu postaci ( 1 ).
Istotnie, określmy następująco nowe zmienne
\( x_1=x,\hskip 0.3 pc\hskip 0.3 pc x_2=x^\prime,\ldots,x_n=x^{(n-1)}. \)
Wtedy równanie ( 3 ) można zapisać w postaci układu równań
\( \begin{cases} x_1^\prime=x_2&\\x_2^\prime=x_3&\\ \hskip 0.3 pc\vdots &\\ x_{n-1}^\prime=x_n &\\x_n^\prime=F(t,x_1,\ldots, x_n).&\end{cases} \)
Przykład 2:
Przekształcić problem początkowy
\( \begin{cases} x^{\prime\prime\prime}=2x^{\prime\prime}+\dfrac{t}{x^\prime}+x^2+t^3 &\\x(0)=0,\hskip 0.3 pc x^\prime(0)=1,\hskip 0.3 pc x^{\prime\prime}(0)=-1 &\end{cases} \)
do postaci ( 1 ), ( 2 )
Określmy nowe zmienne \( \hskip 0.3pc x_1,\hskip 0.3pc x_2,\hskip 0.3pc x_3\hskip 0.3pc \) w następujący sposób
\( x_1=x,\hskip 0.3 pc\hskip 0.3 pc x_2=x^\prime,\hskip 0.3 pc\hskip 0.3 pc x_3=x^{\prime\prime}. \)
Stąd mamy, że
\( x_1^\prime=x^\prime=x_2,\hskip 0.8pc x_2^\prime=x^{\prime\prime}=x_3,\hskip 0.8 pc x_3^\prime=x^{\prime\prime\prime}=2x_3+\frac{t}{x_2}+x_1^2+t^3. \)
Zatem problem początkowy
( 4 ) można zapisać w postaci problemu początkowego dla układu:
\( \begin{cases} x_1^\prime=x_2&\\x_2^\prime=x_3&\\x_3^\prime=2x_3+\frac{t}{x_2}+x_1^2+t^3&\\x_1(0)=0,\hskip 0.3 pc x_2(0)=1,\hskip 0.3 pc x_3(0)=-1.&\end{cases} \)
Przykład 3:
Przekształcić układ równań
\( \begin{cases} x^{\prime\prime}+y^\prime+x=t &\\y^{\prime\prime}+y+x^\prime=1 &\end{cases} \)
do postaci ( 1 )
Określmy nowe zmienne w następujący sposób
\( x_1=x,\hskip 0.6pc x_2=y,\hskip 0.6pc x_3=x^\prime,\hskip 0.6pc x_4=y^\prime. \)
Wówczas
\( x_1^\prime=x_3,\hskip 0.5pc x_2^\prime=x_4,\hskip 0.5pc x_3^\prime=-x_1-x_4+t,\hskip 0.5pc x_4^\prime=-x_2-x_3+1. \)
Układ wyjściowy można zatem zapisać następująco w postaci układu
\( \begin{cases} x_1^\prime=x_3&\\x_2^\prime=x_4&\\x_3^\prime=-x_1-x_4+t&\\x_4^\prime=-x_2-x_3+1.&\end{cases}. \)
